25 февраля 2017г.
В данной задаче рассмотрим другой тип непрерывного вейвлет – преобразования, при котором мы проецируем сферу на плоскую карту, задаваемую соотношениями:
Синусоидальная проекция (псевдоцилиндрическая равновеликая) сохраняет равные площади во всех участках сетки. Если развернуть глобус в плоскость можно вообразить, что такую проекцию можно свернуть обратно, чтобы сформировать сферу, которая будет идентична исходной по форме и площади поверхности.
Поскольку все больше и больше графических данных доступны в глобальном масштабе, то лучше всего представить глобус в растровом формате, специально для разработки глобальной карты изображений, который стал важным вопросом для исследователей из различных научных областей. Сеонг и Юзери (2001) обнаружили, что синусоидальная проекция сохраняет на всей карте единый масштаб площадей почти идеально. Малкахи (1999, 2000) описывает вносимые искажения путем проекции изображений с поверхности глобуса с потерей пикселей. Она рассмотрела несколько равновеликих картографических проекций и установила, что синусоидальная проекция была уникальной среди тех, которые изучались. Это была единственная проекция, которая не имеет каких-либо потерь пикселей или дублирования для изучения изображений местности.
Синусоидальная проекция используется для архивирования глобальных спутниковых изображений. Проекция является равновеликой и масштаб вдоль центрального меридиана и вдоль каждой параллели является правильным. Чтобы построить карту, параллели представляются в виде горизонтальных отрезков, которым перпендикулярен центральный меридиан, и меридианы отмечаются на своих истинных расстояниях вдоль каждой параллели.
Чтобы получить вейвлет – преобразование на плоскости зададим непрерывное вейвлет – преобразование на сфере и убедимся, что оно будет сводиться к уравнению (2.1.9). Это позволит нам сделать вывод о том, что вейвлет – преобразование в сферических координатах является синусоидальной проекцией сферы на плоскую карту.
Скалярное произведение в сферических координатах будет записываться в виде:
Формулы системы, записанной выше, определяют синусоидальную картографическую проекцию сферы на плоскую карту.
Масштаб проекции в направлении север-юг одинаков на центральном меридиане. В направлении запад-восток масштаб соответствует реальному, длина каждой параллели пропорциональна косинусу широты, поэтому карта ограничена справа и слева двумя повѐрнутыми ветвями косинусоиды. Расстояние по карте вдоль меридиана (кроме центрального) больше, чем реальное. Искажения отсутствуют только на центральном меридиане и на экваторе [11].
Список литературы
1.
Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy into square integrable wavelets of constant shape// SIAM J. Math. Anal. 1984. V 15. P. 723-736.
2.
А. Петров. Вейвлеты и их приложения – Рыбинск, РГАТА 2007
3.
Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов.
М.:Сов.радио,1972. 351 c.
4.
J. P., Carette, P., Murenzi, R., & Piette, B. (1993). Image analysis with two-dimensional continuous wavelet transform. Signal Processing, 31, 241–272.
5.
Postnikov E. B., Singh V. K. Local spectral analysis of images via the wavelet transform based on \partial differential equations //Multidimensional Systems and Signal Processing. – 2014. – V. 25. – №. 1. –P. 145-155.
