10 июня 2017г.
Вначале мы даем обзор результатов о группах с циклическим коммутантом [1]. В частности, приводятся условия, которым должен отвечать порядок коммутанта n (необходимые и достаточные), чтобы существовала группа с циклическим коммутантом, порядка n, в котором не всякий элемент - коммутатор.
Хорошо известно, что если G группа, то не каждый элемент подгруппы G′ должен быть коммутатором.
Поэтому будем рассматривать λ(G):
λ(G) = 𝑠𝑢𝑝λ(g)
gϵG′
где λ(g)- наименьшее число множителей во всевозможных разложениях g в произведение коммутаторов. Если в коммутанте группы G всякий элемент-коммутатор, то λ(G)=1.
Следующие два результата приведем без доказательства.
Теорема 1. Пусть G′= имеет порядок n, и m-положительное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны:
1. Некоторый порождающий подгруппы G′ является произведением m-коммутаторов.
2. Существуют элементы 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ 𝐺, удовлетворяющие условию 𝑥𝑖𝑎𝑥𝑖−1 = 𝑎𝑟𝑖 , 𝑦𝑖 𝑎𝑦𝑖−1 = 𝑎𝑆𝑖 , [𝑥𝑖 , 𝑦𝑖]=𝑎𝐶𝑖 и (с1, … , 𝑐𝑚, 𝑑1, … , 𝑑𝑚)=1, где 𝑑𝑖 = (𝑟𝑖 − 1, 𝑠𝑖 − 1, 𝑛).
Теорема доказана.
Оказывается, что верна и обратная теорема, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 4. Пусть группа G=- циклическая, порядка n. Если существует группа K, что K′=G и ни один порождающий G не является произведением m коммутаторов, то либо (1) 𝑛 = 𝑝1
𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 , 𝑣 ≥ 22𝑚+1 − 1, либо
(2) 𝑛 = 2𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 , 𝑣 ≥ 22𝑚+1 − 3.
Все сформулированные выше результаты выражены в обобщающей теореме.
Теорема 1.5. а) Для заданной пары (n,m), 𝑚 ≥ 2, тогда и только тогда когда существует группа G с циклическим коммутантом G′ порядка n и 𝜆(𝐺) > 1, когда
1) n=𝑝1
𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 ,𝑣 ≥ 7,
2) n=3𝜆𝑝1
𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 , 𝑝𝑖 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3), 𝑖 = 1,2,3,4,
3) n=2𝑝1
𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 , 𝑣 ≥ 3, или
4) n=2𝛼𝑝1
𝛼1 , … , 𝑝𝑣
𝛼𝑣 , 𝑣 ≥ 2, 𝛼 ≥ 2.
Из теоремы 1.5. следует, что наименьшее n, для которого существует группа G с циклическим коммутантом порядка n и 𝜆(𝐺) > 1, имеет порядок 240.
Список литературы
1. Guralnick Robert M. On cyclic commutator subgrups. Aequationes Math.- 1978, 21.- p.33-38.
