ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПО НАХОЖДЕНИЮ ОПТИМАЛЬНОЙ МОДЕЛИ КВАНТОВОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЯ

Введение. Планирование эксперимента [1] — это комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Данная работа будет посвящена проведению полного факторного эксперимента моделей квантовых вычислителей, анализ их адекватности с точки зрения наличия у них определенных параметров. Также оценим связность некоторых характеристик этих моделей. Планирование эксперимента включает:

1.   Выдвижение целей эксперимента, его визуального описания.

2. Конкретизация условий выполнения эксперимента.

3. Выбор вида испытаний.

4.   Определение входных и выходных показателей на основе сбора и анализа предварительной (априорной) информации.

5.   Написание плана эксперимента и его проведение — число и порядок опытов, способ сбора, хранения и документирования полученных данных.

6.    Статистическая обработка результатов эксперимента, построение математической модели поведения исследуемых характеристик.

7. Объяснение полученных результатов.

Цель исследования. Цель исследования заключается в том, чтобы создать некий образ (модель) квантового вычислителя [2] с различными типовыми решениями (элементами), стремящийся к идеалу, и позволить пользователям самим строить под свои потребности систему. Достижение этой цели позволит устранить обозначенные проблемы. Кроме того, выбирая «блоки» для своей системы, пользователь в случае необходимости сможет их поменять (подстроить под изменившиеся требования), что сделает модель гибкой.

Объект исследования. Для удобства разработки, модификации, портируемости вычислителя, связи с языками программирования и средами разработки он имеет многослойную архитектуру:

1.     Ядро - это компонент, который содержит в себе всѐ необходимое для моделирования кубит [3] (квантового регистра [4]) и набора операций (гейтов [5]), которые применяются к данным кубита.

Ядро эмулятора осуществляет эмуляцию одного квантового регистра с помощью его вектора состояния, реализацию произвольных одно- и двухкубитовых вентилей, предоставляет функции для чтения и записи как для регистра, так и для его отдельных кубитов. В отладочных целях имеется доступ непосредственно к вектору состояния. Для облегчения работы с ядром имеются функции, реализующие конкретные, одно- и двухкубитовые вентили. В настоящее время реализованы все функции ядра и основные квантовые вентили. Библиотека написана на языке Си и допускает как статическую, так и динамическую компоновку с программами пользователя.

2.     Библиотека базовых квантовых алгоритмов включает реализацию наиболее часто используемых рутинных квантовых алгоритмов, например, квантового фурье-преобразования (QFT).

3.     Интерфейсы для языков программирования дают возможность использования ядра эмулятора с уже существующими языками, средами разработки и библиотеками без его доработки и перекомпиляции.

Моделирования квантовых вычислений требует специализированного программного обеспечения, которое позволит легко эмулировать выбранную квантовую схему. Примером реализации программного обеспечения, удовлетворяющего таким условиям, является написанный на языке Фортран с

использованием MPI набор программ QCMPI. Он представляет собой не что иное, как большой выбор операторов: оператор Паули, преобразование Адамара, контролируемое отрицание, фазовый сдвиг, квантовое преобразование Фурье и др.

Проведение полного факторного эксперимента для конкретной задачи. Полный факторный эксперимент (ПФЭ) [6] – это объединение воедино ряда измерений, которые подчиняются следующим условиям:

·   Число измерений составляет 2n, где n – количество факторов, 2 – число уровней;

·   Каждый фактор принимает только два значения – верхнее и нижнее;

·   В  процессе  измерения  верхние  и  нижние  значения  факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.

В задачах, связанных с практическим характером, часто требуется не только создать, построить математическую модель некоторой системы, но и одновременно оценить ее характеристики и параметры с помощью численных значений. Очень часто построение модели, независимо от своей области деятельности и функциональной направленности, не может быть успешно выполнено без проведения ряда экспериментов, проводимых над такими моделями. В общем случае отклик модели описывается функцией из переменных вида:

Математическая модель позволяет выделить для исследования наиболее важные свойства модели, абстрагируясь от его несущественных характеристик. Часто моделирование позволяет сформулировать новые гипотезы и получить новые знания о модели, которые при ее исследовании были недоступны.

Матрица эксперимента. Выделим 2 важных фактора (характеристики), влияющих на успешную работу модели квантового вычислителя.

Таблица 1

 Факторы эксперимента

№	Факторы	Значения (верхние и нижние -1, +1)
1.	Исходное количество гейтов	6-20
2.	Ограничение по количеству кубит	2-32

В таблице выше описаны не только факторы, но и их пограничные значения.

В планировании эксперимента сложившейся практикой является использование кодированных значений факторов: +1 и –1. Параметры эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки – это опыты, а столбцы – значения факторов. Будем называть такие таблицы матрицами планирования эксперимента. Число измерений в данном случае будет составлять 2^2.

Полагая, что линейная модель процесса имеет вид:

y = a0 + a1 ∗ x1 + a2 ∗ x2

На  основании  полученных  результатов  можно  составить  систему  четырѐх  уравнений  с  двумя переменными:

В матрице эксперимента второй и третий столбцы представляют собой значения факторов, четвѐртый столбец – значения отклика системы, а первый столбец содержит единицы, соответствующие единичным коэффициентам свободного члена модели  
Решение системы. Чтобы облегчить решение системы, проведѐм нормировку факторов. Верхним значениям факторов присвоим нормированное значение +1, нижним значениям – нормированное значение –1, среднему значению – нормированное значение 0.

Тогда, 4a0= 25 + 50 + 75 + 100 = 250. Тогда a0  = 52,5. Чтобы найти a1 изменим знак на противоположный во всех нечетных строках, тогдаa1 = 12,5 и a2 = 25.

Таким образом, линейная модель технологического процесса в окрестностях точки (13;17) имеет вид 𝐲=𝟓𝟐,𝟓+𝟏𝟐,𝟓∗𝐱𝟏+𝟐𝟓∗𝐱𝟐 Но эта модель состоит из нормированных факторов, и чтобы получить реальные значения необходимо вернуться к ненормированным. Окончательно получаем модель в естественных координатах: 𝐲=𝟏+𝟏,𝟕𝟖𝟔∗𝐱𝟏+𝟏,𝟔𝟔𝟕∗𝐱𝟐

Постановка задачи регрессионного анализа. Регрессионный анализ — метод статистического изучения зависимости одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Рассчитаем средние (промежуточные) данные, требуемые для составления СЛАУ, с помощью которой определяются коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов.

Искомое уравнение регрессии 𝐲=𝟑,𝟏𝟓+𝟏,𝟓∗𝐱𝟏+𝟏,𝟔∗𝐱𝟐

Зависимость (связь) между переменными весьма тесная.

Результаты эксперимента и их обсуждение. Индекс детерминации используют для характеристики качества уравнения регрессии. Чем  больше R2, тем большая часть дисперсии результативного  признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. Такое высокое значение (0,96) показывает правильность выбора пары факторов. Остальные же 0,04% объясняется влияние других факторов на взаимодействие данных характеристик.

Средняя ошибка аппроксимации:

Общее суждение о качестве модели высокое (полученный критерий намного ниже максимально допустимых значений: 12-15 %).

Заключение.

В данной работе, были рассмотрены характеристики традиционных моделей квантовых вычислителей. Также был проведен полный факторный эксперимент,  составлены  матрица эксперимента  и  математическая модель. Была проведена обработка экспериментальных данных с помощью регрессионного анализа и метода наименьших квадратов, в следствии чего было доказано, что предложенная модель с набором характеристик адекватна.

 

Список литературы

1.     Н.И. Сидняев, Н.Т. Вилисова Введение в теорию планирования эксперимента // Методическое пособие // 2011

2.     Квантовый компьютер // URL: http://compress.ru/article.aspx?id=17653(Дата обращения: 01.12.2014)

3.     Кубит // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кубит (Дата обращения: 05.12.2014)

4.     Гайнутдинова А.Ф. квантовые вычисления // Казанский государственный университет Методическое пособие // 2007

5.     Квантовый вентиль // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Квантовый_вентиль (Дата обращения: 09.12.2014)

6.     Полный факторный эксперимент // URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Полный_факторный_эксперимент (Дата обращения: 13.12.2014)