22 февраля 2016г.
Рассмотрена электрическая схема и математическая модель генератора хаоса на полевом транзисторе. Проведен численный анализ генератора хаоса во временной области с помощью программы Mathcad. Представлены результаты оценки точности численного анализа.
В настоящее время одним из перспективных направлений развития сверхширокополосных (СШП) систем радиосвязи является применение хаотических колебаний в качестве СШП сигналов [1]. К СШП сигналам относят сигналы, имеющие относительную полосу D = ∆F/Fц >> 0,2 (Fц – центральная частота сигнала и ∆F – ширина спектра сигнала), а также сигналы с полосой ∆F > 500 МГц в диапазоне частот 3,1…10,6 ГГц [2]. Отметим, что для передачи информации в СШП системах связи используется не непрерывное хаотическое колебание, а поток хаотических радиоимпульсов, которые представляют собой фрагменты хаотического колебания, причем ширина спектра потока хаотических радиоимпульсов практически совпадает с шириной непрерывного хаотического колебания [3].
Рассмотрим электрическую схему генератора хаотических колебаний на полевом транзисторе (Рисунок 1) [4]. Эта схема сходна со схемой генератора на емкостной трехточке с биполярным транзистором. Однако, поскольку сопротивление затвор-исток у полевого транзистора значительно больше, чем соответствующее ему сопротивление база-эмиттер у биполярного транзистора, током через затвор в модели с полевым транзистором можно пренебречь. Полевые транзисторы являются типичными элементами, применяемыми в технологии, основанной на комплементарной структуре металл-оксид-полупроводник (КМОП). В настоящее время это наиболее активно развивающаяся твердотельная технология, а также наиболее дешевая как с точки зрения разработки, так и массового производства.
Математическая модель генератора может быть представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно переменных состояния (токов индуктивностей и напряжений емкостей):
Для проведения моделирования основных особенностей динамики генератора хаотических колебаний вольт-амперная характеристика (ВАХ) полевого транзистора id (ugs) определяется максимально простыми кусочно-линейными функциями. Такой подход позволяет получить результаты численного анализа динамики генератора примерно такими же, как и при использовании в расчетах сложной динамической модели полевого транзистора, встроенной в программы схемотехнического моделирования [4]. Далее будем описывать ВАХ полевого транзистора кусочно-линейной аппроксимацией:
где id – ток стока; ugs – напряжение затвор-исток; S – крутизна, U0 – пороговое
напряжение.
В работе [4] было показано, что получение хаотических колебаний в генераторе на полевом транзисторе с крутизной характеристики S ≈ 50 мА/В и пороговым напряжением U0 ≈ 0,75 В возможно
при следующих параметрах элементов схемы приведенной на рис. 1: E1 = 7 B, E2 = 2 B, R1= 1,2 кОм, R2 = 12 кОм, L = 358 нГн, С1 = 0,106 пФ, С2 = 0,212 пФ. Максимум спектральной плотности мощности
хаотических колебаний при этом будет лежать вблизи частоты f = 1 ГГц и основная часть энергии
сигнала сосредоточена в диапазоне
частот ниже 3 ГГц. В свою очередь, для нелицензируемого использования СШП сигналов в средствах беспроводной связи в большинстве развитых
стран выделен диапазон
частот 3,1…10,6 ГГц. Для того чтобы получить хаотическое колебание в полосе частот 3,1…10,6 ГГц необходимо использовать реактивные элементы с модифицированными параметрами [4]:
где L, C1, C2 – параметры элементов, при которых достигается режим генерации хаотических колебаний вблизи
частоты f; f ′ – требуемая основная
частота генерации.
Полагая f ′ = 3,1 ГГц с помощью соотношений (4) – (6) получаем
модифицированные значения параметров реактивных элементов: L′ = 119 нГн, C1¢ = 0,033 пФ, C2¢ = 0,071 пФ.
Моделирование генератора хаоса во временной области
сводится к решению
системы (1). Поскольку система ОДУ (1) является
нелинейной, то для ее решения
необходимо использовать численные методы.
Одним из наиболее
эффективных численных методов анализа различных
типов автоколебательных систем является метод BDF (алгоритм Гира),
основанный на формулах дифференцирования назад
[5,
6]. Метод BDF обладает минимальной для своего порядка
точности вычислительной сложностью. Следует отметить, что в настоящее время для численного решения различных видов
нелинейных систем ОДУ считается
перспективным метод RADAU5, основанный на трехстадийном неявном методе Рунге-Кутты пятого порядка точности.
Для численного решения
уравнений генератора удобно использовать программный пакет Mathcad 15, в который встроены алгоритмы
BDF и RADAU5. Рассмотрим результаты численного моделирования генератора cо следующими параметрами
элементов: S ≈ 50 мА/В, U0 ≈ 0,75 В, E1 = 7 B, E2 = 2 B, R1 = 1,2 кОм, R2 = 12 кОм, L′ = 119 нГн, C1¢ = 0,033 пФ, C2¢ = 0,071 пФ. На Рисунке 2 приведена временная диаграмма напряжения на выходе генератора uвых = uC1, полученная методом BDF при заданной
максимальной относительной погрешности анализа TOL = 10 −
3. Спектральная плотность
мощности сигнала
на выходе генератора, показана на Рисунке
3. Для расчета спектральной плотности
мощности
использовался
метод
Фурье-преобразования реализации случайного процесса.
Из Рисунка 3 видно,
что в рассматриваемом автогенераторе при модифицированных параметрах реактивных
элементов имеет место сверхширокополосная генерация
хаотических колебаний, причем основная часть энергии хаотического сигнала лежит в диапазоне
частот от 3 ГГц до 10 ГГц, что соответствует требованиям к нелицензируемому использованию СШП сигналов.
Для оценки точности полученных результатов напряжение uвых определялось методами BDF и RADAU5 при различных значениях TOL – от 10 –
15 до 10 – 2. Зависимости модулей
относительных погрешностей оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения (СКО) выходного напряжения от значения TOL
для различных численных методов
показаны на Рисунке 4. Сплошные
кривые на Рисунке 4 соответствуют методу BDF, штриховые – RADAU5. В качестве истинных значений
математического ожидания и СКО были приняты значения, полученные из анализа выходного
напряжения, рассчитанного методом
BDF при TOL = 10 – 15.
Из Рисунка 4 видно, что при использовании для анализа автогенератора метода RADAU5 относительная погрешность оценки математического ожидания
δm <
0,15 %, относительная погрешность оценки СКО δζ < 2,5 %. Отметим, что метод RADAU5 при установке
TOL < 10 –
14 не позволяет получить численное
решение системы (1).
Данная проблема связана, по-видимому, с высокими
вычислительными затратами метода
RADAU5. При использовании метода
BDF указанный недостаток отсутствует, кроме того, погрешности δm и δζ полученные методом BDF при 10
− 7 ≤ TOL ≤ 10 –
2 оказываются меньше аналогичных погрешностей метода RADAU5 в 1,5 – 2 раза.
Следует отметить, что при изменении параметров резистивных элементов рассматриваемый генератор
может перейти в режим детерминированных колебаний. Для создания
генератора с постоянной спектральной плотностью мощности в заданной полосе частот наибольший
интерес представляет область
значений сопротивления R2 от 10 до 15 кОм, как область
хаотических режимов
с наибольшим диапазоном значений локальных экстремумов, а значит,
потенциально с наибольшей эффективностью. Достоверность полученных результатов
численного анализа генератора подтверждается их многократной проверкой
с помощью различных методов и при различных установках точности
анализа. Оценка основных
статистических характеристик полученных хаотических колебаний показывает, что погрешность численного моделирования генератора
не превышает 2 %.
Работа выполнена при поддержке стипендии
Президента Российской Федерации
молодым ученым и аспирантам, осуществляющим перспективные научные исследования по приоритетным направлениям модернизации российской экономики (СП-398.2012.5).
Список литературы
1.
Дмитриев А.С., Клецов А.В., Лактюшкин А.М., Панас А.И., Старков С.О. Сверхширокополосная беспроводная связь на основе динамического хаоса // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. № 10. С. 1193-1209.
2.
Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Клецов А.В., Кузьмин Л.В., Лактюшкин
А.М., Юркин В.Ю. Сверхширокополосная беспроводная связь и сенсорные
сети // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53. № 10. С. 1278-1289.
3.
Дмитриев А.С., Клецов А.В., Лактюшкин A.M., Панас А.И., Синякин
В.Ю. Сверхширокополосная СВЧ приемопередающая
платформа на основе хаотических сигналов // Радиотехника. 2007. № 1. С. 90-95.
4.
Григорьев Е.В., Дмитриев
А.С., Ефремова Е.В., Кузьмин
Л.В. Генератор хаоса на полевом
транзисторе. Математическое и схемотехническое моделирование // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52. № 12. С. 1463-1471.
5. Пилипенко А.М., Бирюков В.Н. Исследование эффективности современных численных
методов при анализе автоколебательных цепей // Журнал
радиоэлектроники. 2013. №8. URL: http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text.html (дата обращения 28.08.2014).
6. Пилипенко А. М., Бирюков
В. Н. Оценка точности
численного анализа релаксационного генератора // Журнал радиоэлектроники. 2013. №11. URL: http://jre.cplire.ru/jre/nov13/6/text.html (дата обращения 28.08.2014).
