25 июля 2020г.
1 Работа частично поддержана грантом РФФИ 15-01-008847.
Аннотация
В данной работе построены обобщенные пространства типа Хаара на многообразии, дан адаптивный алгоритм укрупнения клеточного подразделения многообразия и установлены калибровочные соотношения между координатными функциями объемлющего и вложенного пространств указанного типа. В работе рассмотрено понятия клеточного подразделения, элементарного укрупнения, введен ε-критерий, а также введено понятие модератора адаптивного укрупнения.
Ключевые слова: сплайны, функции Хаара, клеточное подразделение многообразия, калибровочные соотношения, вложенность пространств
1 Введение
Построение адаптивных сеток при аппроксимации функций, при построении методов конечных элементов и методов сеток, при эффективных вейвлетных разложениях является животрепещущей проблемой (см. [1] – [29], [31] – [33]). С одной стороны, эти сетки должны обслуживать весьма сложные конфигурации рассматриваемых областей, а с другой стороны, они должны достаточно легко настраиваться на структуру функций, определяемых в этих областях. Поэтому представляется достаточно актуальным построение соответствующих алгоритмов в весьма общих условиях, в частности для функций, заданных на многообразиях.
Цель данной работы состоит в том, чтобы построить обобщенные пространства типа Хаара на многообразии, дать адаптивный алгоритм укрупнения клеточного подразделения многообразия и установить калибровочные соотношения между координатными функциями объемлющего и вложенного пространств типа Хаара. Частным случаем представленных здесь результатов являются результаты, полученные ранее в одномерном случае (см. [28]).
Для достижения указанной цели в работе вводятся нестандартные понятия клеточного подразделения, элементарного укрупнения, расширяемой и предельной клеток. Кроме того, здесь рассматривается ε- критерий, а также вводится понятие модератора адаптивного укрупнения.
Имеется ряд других классов локальных укрупнений (см. [9], [26]); они не рассматриваются в данной работе.
Список литературы
1.
Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Евдокимова Т.О.. Сплайн-всплески и их реализация. СПб. Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2017
2.
Демьянович Ю.К., Михлин С.Г.. О сеточной аппроксимации функций соболевских классов //Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР, 35, 1973. С.6-11.
3.
Демьянович, Аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны, СПб., Изд-во СПбГУ. 1994.
4.
Демьянович Ю.К.. Вэйвлеты на многообразии// Доклады РАН. 2009.Т. 421, №2. С. 1-5.
5.
Ю.К. Демьянович. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке //Доклады РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 313-316.
6.
Демьянович Ю.К.. Калибровочное соотношение для В-сплайнов на неравномерной сетке// Матем.модел. Т.13. № 9. 2001. С. 98-100.
7.
Демьянович Ю.К.. Минимальне сплайны лагранжева типа// Проблемы математического анализа 2010. Вып. 50. С.89-100.
8.
Демьянович Ю.К., Теория сплайн-всплесков, СПб., 2013.
9.
Демьянович Ю.К., Зимин А.В.. Аппроксимации курантова типа и их вэйвлетные разложения// Проблемы математического анализа, 2008. Т.37, С.3-22.
10.
Демьянович Ю.К., Иванцова О.Н., Пономарева А.Ю.. Целочисленная реализация сплайн- всплескового разложения// Сб. Проблемы математического анализа, Т.90, 2017. С. 35-48.
11.
Завьялов Ю.С., Квасов Б.И.,
Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций. М., 1980. 352 с.
12.
Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов.-М.: Мир, 2005. C. 671.
13.
Михлин. Вариационно-сеточная аппроксимация// Зап. научн. семин. ЛОМИ АН СССР, 48, 1974. С.32-186.
14.
Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. ГТТИ, 1962.
15.
Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.
"Наука", гл. Ред.физ.мат. л-ры. 1968.
16.
Михлин С.Г. О координатных функциях вариационно-разностного метода//
ДАН СССР, №3, 1971. С.526-529.
17.
Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М. 2005. C. 616.
18.
Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. C. 248.
19.
Чуи К. Введение в вэйвлеты. М., 2001. C. 412.
20.
Courant R., Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations// Bulletin of the American Mathematical Society 49, 1943. P. 1–23.
21.
Daubechies I., Guskov I., Sweldens W. Commutation for Irregular Subdivision//Const. Approx., 17(4),2001. рp.479-514.
22.
Daubechies I.. Ten Lectures on Wavelts// SIAM/ Philadelphia. 1992.
23.
Dai K.Y., Liu G.R., Free and forced vibration analysis using the smoothed finite element method (SFEM)// Journal of Sound and Vibration 301, 2007. P. 803-820.
24.
Dem’yanovich Y.K.,
Romanovskii L.M.. Spline-Wavelet Coarsening of Courant-Type Approximations// Journal of Mathematical Sciences (United States), 199 (4), 2014. P. 414-431.
25.
Dem’yanovich Y.K., Gerasimov I.V.. Local Coarsening of Simplicial
Subdivisions// J.of Math. Sci. 2016. Vol.216, No.2, P. 219-236.
26.
Demyanovich Yu.K.. Spline Approximations on Manifolds// International Journal of Wavelets.Multiresolution and Information Processing. Vol. 4, No. 3,2006, P. 383-403.
27.
Demyanovich Yu.K., Zimin A.V.. Wavelet decompositions on a manifold//Journal of Mathematical Sciences, 2008. Vol.150, issue 2. P.1929-1936
28.
Demyanovich Yu.K., Ponomareva A.Yu.. Adaptive Spline-Wavelet Processing of a Discret Flow// J.of Math. Sci. 2015 Vol.210. No.4, P. 371-390.
29.
Michlin S.G., Approximation auf dem Kubischen Gitter, Berlin,
1970.
30.
Nguyen-Thoi T., Liu G.R., Nguyen-Xuan H., et al. Adaptive analysis using the node-based smoothed finite element method (NS-FEM)//
International Journal for Numerical Methods in
Biomedical Engineering 27, Issue: 2, 2011. рр. 198-218.
31.
Schoenberg I. J. Contribution to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions // Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45–99, 112–141.
32.
Strang G., Fix G. Fourier Analysis of the finite element method in Ritz –Galerkin Theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N. 3. P. 265–273.
33.
Zhang Z.Q., Liu G.R., Upper and lower bounds for natural frequencies: A property of the smoothed finite element methods// International Journal for Numerical Methods in Engineering 84, Issue: 2, 2010. P. 149-178.
