Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ МАТРИЦЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ, ИСПОЛЬЗУЯ СПЛАЙНЫ ЛАГРАНЖЕВОГО ТИПА

Авторы:
Город:
Санкт-Петербург
ВУЗ:
Дата:
25 июля 2020г.

Аннотация

Предложен метод определения наибольшего собственного числа матрицы с положительными собственными числами. Метод построен на основе применения полиномиальных локальных сплайнов лагранжевого типа пятого порядка аппроксимации.

Ключевые слова: наибольшее собственное число матрицы, локальные сплайны

Довольно часто при решении различных задач математической физики необходимо решать системы линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ) с положительными собственными числами. К таким матрицам относятся положительно определенные симметричные матрицы. Особый интерес представляют положительно определенные плохо обусловленные матрицы (см, например, [3,4,8]). Важной задачей, связанной с решением СЛАУ, является вычисление собственных значений матрицы [16]. Для локализации собственных значений обычно используют теорему Гершгорина. Теория нахождения собственных значений постоянно дополняется модифицированными методами (см, например, [12,13,15]). Идея метода интерполяции для вычисления собственных чисел матрицы была предложена в 1960 году советскими математиками Фаддеевым Дмитрием Константиновичем и Фаддеевой Верой Николаевной (см. книгу [5]). Применила метод Фаддеева Д.К. и Фаддеевой В.Н. к новым условиям для новых сплайнов профессор СПбГУ Бурова Ирина Герасимовна. В модифицированном интерполяционном методе предлагается нахождение действительных собственных значений матрицы с вещественными элементами, основанный на использовании полиномиальных сплайнов Лагранжева типа [1,2,6,7,9,10,11,17]. Этот метод может быть использован как для вычисления собственных значений симметричных положительно определенных матриц, так и несимметричных матриц с положительными собственными числами. Основными особенностями локальных сплайнов Лагранжевого типа являются следующие: аппроксимация строится отдельно для каждого интервала сетки, аппроксимация строится как сумма произведений базисных сплайнов и значений функции в узлах и (или) значений ее производных. Базисные сплайны определяются с помощью некоторой системы фундаментальных соотношений.






Список литературы

 

[1] Бурова И.Г., Об аппроксимации квадратичными и кубическими минимальными сплайнами, Методы вычислений. Вып. 20: Сб. статей / Под.ред. В.М.Рябова. —СПб.: Издательство С.- Петербургского университета, 2003. —164 с.

[2] Бурова И.Г, Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. Изд-во С.-Пб. ун-та, 2000.

[3] Рябов В.М., Бурова И.Г., Кальницкая М.А., Малевич А.В., О численном решении СЛАУ с плохо обусловленными матрицами // Материалы 7-й всероссийской научной конференции по проблемам информатики СПИСОК-2017 – СПб. – 2017. – С. 199–204.

[4] Рябов В.М., Бурова И.Г., Кальницкая М.А., Малевич А.В., Лебедева А.В., Борзых А.Н. О численном решении систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами // Международный научно-исследовательский журнал. Физико-математические науки.– Екатеринбург – 2018. – № 12 (78). – Часть 1. – С. 13–17.

[5] Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры [Электронный ресурс]: учеб. / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. - Электрон. дан. - Санкт-Петербург: Лань, 2009. - 736 с. - Режим доступа: https://e.lanbook.com/book/400

[6] Ahlberg J.H., Nilson E. N., Walsh J. L., Theory of Splines and Their Applications, Mathematics in Science and Engineering, Chapt. IV. Academic Press, New York, 1967.

[7] Burova I.G., Construction of trigonometric splines, Vestnik St. Petersburg University: Mathematics, Vol. 37, No 2, 2004, pp. 6-11.

[8] Burova I.G., Kalnitskaia M.A., Malevich A.V. On the Numerical Solution of System of Linear Algebraic Equations with Positive Definite Symmetric Ill-Posed Matrices // WSEAS TRANSACTIONS on MATHEMATICS – 2018 – V. 17. – P. 13–19.

[9] Burova, I. G., Ryabov, V. M., Kalnitskaia, M. A., Malevich, A. V., The interpolation method for calculating eigenvalues of matrices. WSEAS Transactions on Systems and Control, Vol. 14, No 13, 2019, pp. 104-111

[10] Dem'yanovich Yu.K., Approximation by Minimal Splines. J. of Math. Sci., Vol.193, No 2, 2013, pp. 261-266.

[11] de Boor Carl, A Practical Guide to Splines, Springer-Verlag. New York. Heidelberg Berlin, 1978. [12] Hari V., Globally convergent Jacobi methods for positive definite matrix pairs. Numerical Algorithms, Vol.17, 2017, pp. 1-29.

[13] Kishida M., On problems involving eigenvalues for uncertain matrices by structured singular values. In: IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 62, No 12, 2017, pp. 6657-6663.

[14] Le Verrier U.J.J., Sur les variations séculaires des éléments des orbites, pour les sept planets principals, Mercure, Vénus, la Terre, Connaissance des Temps, 1840, Additions, pp. 3 -66.

[15] Rezgui H., Choutri A., An inverse eigenvalue problem. Application: Graded-index optical fibers, Optical and Quantum Electronics, October 2017, pp. 49-321.

[16] Saad Yousef, Numerical methods for large eigenvalue problems, SIAM, 2011.

[17] Walsh J.L., Interpolation and approximation, 3rd ed., Amer. Math. Soc. Colloquium Publications., Vol. 20, Amer. Math. Soc, Providence, R.L,1960.