АНТИКОМПАКТЫ В МНОГОЗНАЧНОМ АНАЛИЗЕ

Понятие компактности множества широко используется во многих математических задачах. Однако  в зависимости от размерности пространства меняется связь компактности и ограниченности: если в конечномерных пространствах компактность и ограниченность множества – относительно близкие понятия, то  в бесконечномерных пространствах это уже совсем не так (возможны замкнутые и ограниченные множества, не являющиеся компактами). С этим эффектом связано множество проблем бесконечномерного анализа, среди которых проблема недифференцируемости абсолютно непрерывных отображений и переноса теоремы Радона- Никодима в бесконечномерных пространствах, проблема переноса теоремы Ляпунова о выпуклости образа векторной меры, а также теоремы Крейна-Мильмана о крайних точках для выпуклых ограниченных множеств на случай бесконечномерных пространств. Наиболее известные в математике подходы к этим проблемам приводят к существенному сужению класса рассматриваемых пространств-значений и связаны с дополнительными свойствами Радона-Никодима, Ляпунова и Крейна-Мильмана для бесконечномерных пространств.

Для решения некоторых из указанных проблем в работах [1, 2] нами была предложена идея «сделать» ограниченные замкнутые множества компактными, но уже в некотором ином пространстве, по возможности «достаточно» удобном. Введены и исследованы антикомпактные множества (антикомпакты) в пространствах Фреше – симметричные выпуклые множества, порождающие банаховы пространства F такие, что исходное пространство Е инъективно и компактно вложено в F. Описан класс пространств Фреше, имеющих антикомпакт. В таких пространствах получены аналоги теоремы Ляпунова о выпуклости образа векторной ограниченной меры. Данная заметка посвящена примеру использования в многозначном анализе идеологии антикомпактов.