Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

О ЗЕРКАЛЬНОСТИ НЕКОТОРЫХ УЗЛОВ

Авторы:
Город:
Армавир
ВУЗ:
Дата:
08 марта 2016г.

Узел – гладкое вложение окружности S1  в ориентированное пространство R3  (или сферу R3), под узлом также понимают образ этого отображения (см.[1]).

Тривиальный узел – простейший узел, который может быть представлен как граница диска, гладко вложенного в R3.

Узлы K1 и K2эквивалентны, если существует гомоморфизм пространства R3 на себя отображающий K1 на K2.

Эквивалентные узлы – узлы одного и того же типа. Тип узла – класс эквивалентности узла.

Исходя из выше  приведенных понятий, существует следующее определение тривиального  узла. Узел эквивалентный незаузленной окружности x2+y2=1, z=0, называют тривиальным.

Часть узла будем называть ветвью. Проекция узла на плоскость называется плоской диаграммой. Пусть a, b две ветви узла, проекции которых пересекаются в точке V. Так как a и b не пересекаются в R3, два прообраза точки V имеют различные координаты. Таким образом, мы можем сказать, какая ветвь проходит сверху (образует проход), а какая снизу (образует переход). Это необходимо, что бы плоская диаграмма задавала расположение ветвей в пространстве. Ребра проходов изображаются сплошными линиями, а проход изображается как разрыв в перекрестке (см. Рисунок 1.1)

Минимальное количество перекрестков плоской диаграммы для данного изотопического класса узла называется сложностью узла проход.

Два узла называются изотопными, если один из них может быть продеформирован в другой посредством диффеоморфизма объемлющего пространства на себя, сохраняющего ориентацию.

Узнать какие узлы являются изотопными, а какие нет является задачей распознавания узлов.

Теорема (см.[1]). Любые две плоские диаграммы дают изотопные узлы только в случае существования цепочки движений Рейдемейстера от одной диаграммы к другой.

Список движений Рейдемейстера:

Тип I. Скручивание и раскручивание в любом направлении (см. Рисунок 2.1). Тип II. Перемещение одной петли целиком через другую (см. Рисунок 2.2.).

Тип III. Перемещение нити целиком над или под пересечением (см. Рисунок 2.3.).

 


Для каждого узла можно построить его зеркальное отражение – узел, получаемый отражением данного относительно какой-либо плоскости. Диаграммы зеркального отражения узла получают заменой на диаграммах исходного всех типов перекрестков (проходов на переходы и наоборот).

Узел называется зеркальным, если он изотопен своему зеркальному отражению, (т.е. эквивалентен своему зеркальному отражению).

Проблема зеркальности важна, так как в общем случае она остается открытой. И к сожалению, она решаема лишь для не большого количества узлов. Например, трилистник не является зеркальным. Факт, что два трилистника (см. Рисунок 3.1.) неизотопны (различны) доказан Максом Деном.

Узел, соответствующий следующей диаграмме (Рисунок 4.1) будем называть восьмеркой или 41  (в соответствии с классификацией данной в .[1]).


Теорема. Узел восьмерка 41 является зеркальным.

 Доказательство будем проводить с помощью последовательных движений Рейдемейстера.





Опишем приведенные выше движения.

1)     Движение на Рисунке 1→ Рисунке 2 осуществляется движение выделенной ветви в правый нижний угол по диагонали.

2)     На Рисунке 2→ Рисунке 3 происходит тривиальное движение,  осуществляемое за счет поворота на 900 градусов по часовой стрелке.

3)     На Рисунке 3→ Рисунке 4 один конец выделенной ветви опускается вниз.

4)     На Рисунке 4, глядя на выделенную ветвь можно заметить, что подряд идут два прохода. На Рисунке 4→ Рисунке 5, что бы избавиться от них выделенную ветвь перемещаем в левый нижний угол.

5)     На Рисунке 5→ Рисунке 6 вытягиваем один конец выделенной ветви вниз

Заметим, что на Рисунок 1 является зеркальным отражением Рисунка 6 (т.е. проходы поменялись с переходами, а переходы на проходы). Следовательно, мы получили зеркальный узел, с помощью движений Рейдемейстера.

Теорема доказана.

 

 

Список литературы

1.     Мантуров В.О. Теория узлов. — Москва - Ижевск: НИЦ; «регулярная и хаостическая динамика», 2005

2.     В.О. Мантуров. Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: УРСС, 2001. – 304 с.