ЛОГИЧЕСКИ ВОЗМОЖНОЕ В МАТЕМАТИКЕ

Математика отражает в своих понятиях и теориях не только практически возможное, но вообще логически возможное. В практике часто говорят о больших и малых числах. Логически нет никаких препятствий к тому, чтобы иметь дело с таким и вообще как угодно большими числами. Записывая подряд натуральные числа, человек не может продвинуться как угодно далеко, на это не хватит жизни. Но логически нет препятствий к тому, чтобы за каждым натуральным числом написать следующее и натуральный ряд чисел считается бесконечным. Таким образом, в математике выходят за границы практически осуществимого и имеют дело с логической возможностью, которая в данных случаях выступает как мысленное продолжение практической возможности. В этих случаях в логической возможности и связанных с нею абстракциях, например, идеализации, своеобразно отражаются потенциальные возможности развивающейся практики, а это является основой научного предвидения. Так, например, человек не может досчитать до миллиона миллионов. Однако вооруженный современной электронной техникой, производящей более миллиона арифметических действий в секунду, он с этой задачей легко справится. Так, логическая возможность с развитием науки и техники реализуется и практически. То же самое можно сказать и числах как угодно малых, связанных, например, с процессом идеализации измерения величин. В каждый момент люди располагают определенной техникой измерения конкретных величин, позволяющей измерять их с определенной степенью точности. Но с течением времени техника совершенствуется, а точность измерения при этом повышается. В других случаях логически возможное входит в математику без явной связи с практической возможностью, а в связи с чисто теоретическими запросами самой математики. Характерным примером в этом отношении являются мнимые числа, которые появились задолго до того, как были указаны их прообразы в действительности. Сначала их признали ради той пользы, которую они дают математике по их связи с действительными числами. Они появились как промежуточные звенья в вычислениях, необходимые для получения правильного ответа при решении вполне определенных задач с действительными числами. Другими словами, понятие о них сложилось на основе других объектов, непосредственно абстрагированных из действительности. Это было в XVI столетии и тогда это обстоятельство было весьма необычным в математике. Теперь же для современной математики такой подход к образованию новых понятий является характерным. Математика рассматривает сложившиеся абстракции в той или иной логической связи и приходит к новым абстракциям. Современная математика особенно характерна тем, что она переходит к все более высоким ступеням абстракции, в которых отражаются общие свойства объектов весьма разнообразной природы.

Особенности языка математики. Математика не могла бы оперировать с как угодно большими числами, с постоянными и переменными величинами, с функциями и т.д., если бы она не пользовалась для них соответствующими знаками. Трудно даже представить, как выглядела бы арифметика, если бы она не имела позиционной системы записи чисел. Так же трудно представить алгебру, если лишить ее возможности пользоваться для тех же целей буквами. Язык знаков и формул вместе с логической строгостью позволяет кратко и точно фиксировать различные мысли. Так, например, пишут: 1) а, b, c; 2) a, b,..., c; 3) a, b, c,... Эти записи понимают так: в первом случае речь идет о трех данных числах; во втором — данное любое, но определенное число; в третьем случае нельзя указать последнего числа, т.е. речь идет о бесконечном множестве чисел. Как видно, в этих записях действительно выражено глубокое различие мысли, хотя внешне это различие едва уловимо [1].

Буквы и разнообразные знаки в математике играют большую роль. Соблюдение правил обращения с ними является непременным условием математической грамотности. Нарушение общепринятых обозначений затрудняет понимание того, что желают выразить, или приводит к путанице в понятиях и предложениях. Но не следует забывать о том, что знаки относятся к вспомогательным средствам математики. Они важны не сами по себе, а только в связи с тем, что они обозначают. Во многих случаях бывает безразлично, как обозначить то или иное понятие. Важно помнить, что исходным в математике являются предметы и явления окружающей действительности, изучение которых приводит к определенным понятиям, а знаки вводятся уже для понятий и для связей между ними. Заметим, что при строго формальном изложении теории сначала указывают алфавит математического языка, относя к нему не только буквы обычного алфавита родного и других (латинского, греческого и т.д.) языков, но также и всевозможные знаки, применяемые в математике (например ,+, √,-,=, и т.д.). При этом под словом математического языка понимают не только слово, образованное из обычного родного алфавита по установленным правилам, но также и другие сочетания различных букв математического алфавита, в том числе и формулы в нашем привычном понимании. В статье мы не будем стремиться к такой строгой формализации изложения материала, придерживаясь в основном традиционного подхода. Но все же в добавление к общепринятым и известным обозначениям укажем некоторые обозначения из области математической логики, которых в дальнейшем будем придерживаться. Эти обозначения позволят сократить записи и придать им более отчетливый вид. При изложении математики часто приходится иметь дело с отрицанием того, что говорится в данном предложении. В связи с этим, если буквой   А обозначено данное предложение, то его отрицание обозначают A . Например, если А означает предложение ”данный треугольник прямоугольный”, то A означает, что ”данный треугольник непрямоугольный”, или ”неверно, что данный треугольник прямоугольный”.

Часто также приходится иметь дело с логическим следствием. Мы говорим, например, что ”из предложения А следует предложение В”, ”если верно А, то верно и В”, ”А влечет за собой В”. В этом случае коротко пишут: ”А Þ В”. Так например, обозначая условие и заключение теоремы: ”Если две наклонные, проведенные к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции” соответственно через А и В, можно написать А Þ В. Нетрудно понять, что любая теорема имеет форму А Þ В, где А—условие, а В—заключение. Знак Þ называют знаком импликации (следствия).

Нередко приходится убеждаться в том, что не только А Þ В, но и обратно В Þ А. Так, например, для приведенной теоремы можно сформулировать ей обратную и доказать ее. В таком случае пишут: А Û В и считают, что ”А равнозначно В”, ”А эквивалентно В”. Двойная стрелка  Û   называется знаком

эквиваленции и ставится также в тех случаях, когда говорят: ”А имеет место тогда и только тогда, когда имеет место В”; ”А является необходимым и достаточным условием справедливости В”.

Укажем еще два знака, которые широко используются в математике при современном ее изложении. Знак " называется квантором общности и ставится в тех случаях, когда хотят сказать: ”любой”, ”каков бы ни был”, ”для всех”. Однако было бы безграмотно, если бы кто-нибудь написал: ("x) (2x + 3 = 0) , т.к. равенство 2x + 3 = 0 выполняется не при всевозможных действительных значениях x , а только при одном. Для подобных случаев используется другой знак $ , называемый квантором существования и означающий ”существует по меньшей мере один”, ”существует такое”, ”для некоторого”.

Отношение математики к другим наукам. Математика характеризуется весьма широкой областью применения. Действительно, нет ни одной области человеческого знания и практики, где можно было бы обойтись без учета пространственных форм и количественных отношений предметов и явлений. Такие операции как счет и измерение постоянно применяются даже в повседневной жизни. Что касается таких наук, как механика, астрономия, физика и разнообразные области техники, то они постоянно используют методы математики и обычно выражают свои законы формулами. Математика и не может развиваться без связи с другими науками, так как через них она применяется в практике; их задачи побуждают развитие математической теории, а правильность теории в конечном счете проверяется практикой.

Широта применения математики является следствием абстрактного характера ее понятий, выражающих общие свойства весьма широкого круга предметов и явлений действительности. Например, число два, как уже сказано, выражает общее свойство любой пары предметов вне зависимости от того, где и как они встречаются. Те или иные свойства, установленные в треугольнике, относятся к любому треугольнику, даже если его практически построить и нельзя. Как, например, практически построить треугольник с вершинами в центре Земли, в центре Марса и на поверхности Марса? Его можно представить только умозрительно. Однако, используя такой большой, мысленно воображаемый треугольник, нетрудно определить радиус Марса, поскольку с этим треугольником связанны такие же закономерности, какие имеют место и для треугольника практически осуществимого. Известно, например, что существование планеты Нептун сначала было установлено чисто теоретически на основе вычислений, а потом увидели эту планету в телескоп. Календари солнечных затмений составляются надолго вперед. Аналогичную роль играет математика при запуске искусственных спутников Земли, космических кораблей и т.д.

Становится все более ясным, что математика обладает таким языком и арсеналом методов, которые пригодны для описания фактов и решения задач в таких областях науки, как биология и медицина, психология и педагогика, экономические науки, лингвистика и т.п., которые совсем недавно считались далекими от математики [2].

Список литературы

1.     Рахымбек Д. Математиканы оқыту әдістемесі. Шымкент, 2006. – 260 б.

2. Коджаспирова Г.М., Петров К.В. Технические средства обучения и методика их использования: Учеб пособия для студ. высш. пед. учеб. заведений.-М.: Издательский центр "Академия", 2003.

3. Кондаков Н. И. Обобщение // Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975