16 июня 2018г.
Исследованию алгебраических дифференциальных уравнений с алгебраическими интегралами посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных математиков. Этот интерес объясняется тем, что знание даже одной алгебраической интегральной кривой значительно облегчает качественное исследование дифференциального уравнения. При этом квадратичные системы дифференциальных уравнений привлекают особое внимание исследователей ввиду их кажущейся простоты. Так в [1] построено множество квадратичных систем, имеющих своим предельным циклом эллипс. В [2] решается вопрос о числе эллипсов, которые являются интегральными кривыми квадратичного дифференциального уравнения. В [3] дается оценка для числа различных алгебраических интегральных кривых. В [4] дается оценка числа алгебраических предельных циклов алгебраических дифференциальных уравнений.
В настоящей работе рассматривается квадратичная система дифференциальных уравнений
Исследованию алгебраических дифференциальных уравнений с алгебраическими интегралами посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных математиков. Этот интерес объясняется тем, что знание даже одной алгебраической интегральной кривой значительно облегчает качественное исследование дифференциального уравнения. При этом квадратичные системы дифференциальных уравнений привлекают особое внимание исследователей ввиду их кажущейся простоты. Так в [1] построено множество квадратичных систем, имеющих своим предельным циклом эллипс. В [2] решается вопрос о числе эллипсов, которые являются интегральными кривыми квадратичного дифференциального уравнения. В [3] дается оценка для числа различных алгебраических интегральных кривых. В [4] дается оценка числа алгебраических предельных циклов алгебраических дифференциальных уравнений.
В настоящей работе рассматривается квадратичная система дифференциальных уравнений
с частным алгебраическим интегралом 2-й степени
В [5] показано, что уравнение нераспадающейся кривой второго порядка (2) с помощью невырожденной линейной замены переменных может быть приведено к виду
Поскольку система (1) инвариантна относительно линейной замены переменных, будем предполагать, что указанная замена произведена и система (1) имеет частный алгебраический интеграл (3). При изменении знака параметра а происходит изменение типа кривой (3) и бифуркации системы (1).
Известно [6], что система (1) имеет частный алгебраический интеграл (3) в том и только в том случае, если существует полином М (х, у), такой, что имеет место тождество
При этом очевидно, что т.н. кофактор М (х, у) есть многочлен первой степени
Бифуркации
системы (6) и
ее интегральной кривой
(3)
в каждом из рассмотренных
случаев можно наблюдать в динамике, если построить фазовые портреты для значений параметра а из некоторого промежутка с достаточно малым шагом и воспользоваться проигрывателем Windows Media.
Список литературы
1.
Цинь Юань-сюнь. Об алгебраических предельных циклах второго порядка для дифференциального уравнения 
// Шусюэ сюэбао Acta math. Sinica. 1958. T.8, №1. С.23-25.
2.
Дружкова Т.А. Об одном дифференциальном уравнении с алгебраическими интегралами // Дифференциальные уравнения. 1975.-11, №2. С. 262-267.
3.
Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, №6. С. 838-839.
4.
Баутин Н.Н. Оценка числа алгебраических
предельных
циклов системы 
с алгебраическими правыми частями // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, №2. С. 362.
5.
Алексеев А.А. Кубические системы дифференциальных уравнений с интегрирующим множителем, сингулярным вдоль кривой второго порядка // Деп. В ВИНИТИ 19.10.04 №1637- В2004, 19 с.
6. Dana Schlomiuk. Algebraic and Geometric Aspects
of the Theory of Polinomial
Vector Fields // Proceedings of the NATO ASI. 1993.
7. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
