ЗАДАЧА 𝚫𝟏ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАБРУ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Обобщенное     уравнение    Эйлера         –     Дарбу    рассматривается   в     прямоугольной    области, представляющей объединение четырех характеристических треугольников данного уравнения и содержащей внутри себя две линии сингулярности коэффициентов. Поставлена задача с граничными условиями на одной стороне прямоугольника и на половине смежной стороны. На линиях сингулярности коэффициентов уравнения 𝜉 = ± 𝜂 и на внутренней характеристике 𝜂 = 0 задаются условия сопряжения непрерывные относительно искомого решения и разрывные относительно его нормальных производных.

Задача сводится к однозначно разрешаемой системе интегральных уравнений Вольтерры с несверточными операторами.

Складывая и вычитая равенства (22), (23) получим Т1 и Т3. В интегралы, содержащие Φ1, Φ2 подставим найденные выражения 𝑁1, 𝑁3 из формул (18), (19). В силу громоздкости записи эти вычисления опускаем. Отметим, что при выполнении условий А функции 𝑁1, 𝑁3 непрерывны на [0, ℎ], Т1, Т3 непрерывны на (0, ℎ], в точке x = 0 имеют интегрируемую особенность. Решение задачи Δ1 может быть получено в явном виде, если найденные значения 𝑁1 = 𝑁2, 𝑁3 = 𝑁4, Т1 = Т2, Т3 = Т4 подставить в формулы (7), (9), (11), (13). Единственность задачи Δ1 следует из единственности решения задачи Коши методом Римана [1], которое было взято за основу и однозначной разрешимости всех интегральных уравнений, появляющихся в процессе решшения. Существование доказано проверкой.

Список литературы
1. Долгополов В. М., Долгополов М. В., Родионова И. Н. «Построение специальных классов решений некоторых дифференциальных уравнений гиперболического типа». Доклад Академии наук, 2009, т.429, №5, с. 583 – 589.

2. Долгополов В. М., Родионова И. Н. «Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условием сопряжения на характеристике». Известия Российской Академии наук, Сер. математика, 2011, т. 75, № 4, с.21 – 28.

3. Долгополов В. М., Родионова И. Н. «Экспериментальные свойства решений специальных классов одного уравнения геперболического типа». Математические заметки, том 92, выпуск 4, 2012, с. 533 – 540.

4. Bасильева О. А., Родионова И. Н. «Для обощенного уравнения Эйлера – Дарбу задача с нестандартными условиями сопряжения на характеристической линии». Science Time, 2016 № 5(29). С. 116 – 124.