КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ОБУЧЕНИЮ СТУДЕНТОВ КОМПЬЮТЕРНОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Бурное развитие вычислительной техники привело к появлению принципиально нового мощного средства исследования физических процессов – вычислительного эксперимента. В условиях, когда теоретические методы наталкиваются на серьезные трудности, а натурные эксперименты либо чрезмерно трудоемки, либо принципиально невозможны, численное моделирование часто оказывается единственным способом изучения рассматриваемых процессов.

За последние годы вышло в свет немало учебников [1-5], посвященных компьютерному моделированию. Как правило, они ориентированы или на математиков-вычислителей (и в них детально обсуждаются вопросы сходимости и устойчивости разностных схем, доказываются соответствующие теоремы), или носят сугубо учебный характер (при этом рассматриваемые физические ситуации достаточно тривиальны, так что решение можно получить и аналитически). На наш взгляд было бы полезно рассмотреть такую задачу (внешне несложную), в которой качественный анализ не позволял бы полностью предсказать поведение системы, и в связи с этим роль компьютерного моделирования была бы максимально эффективна.

В известном задачнике Тульчинского [6] приведена следующая задача.

Через неподвижные блоки А и В перекинута нить, на конце которой подвешены два равных по весу груза Р и Q. Что произойдет, если отклонить груз Р от положения равновесия и дать ему возможность свободно качаться? Трением в блоках пренебречь.

Интересно, что решение, приведенное в этом сборнике, является неверным. Автор в частности пишет:

«Когда груз Р занимает положения С и D, он натягивает нить с силой, меньшей Q; при этом груз Q опускается. Когда груз Р проходит положение Е, он натягивает нить с силой, большей Q, и груз Q поднимается. Колебания груза Р вызывают вертикальные колебания груза Q».

Проведем вначале качественный анализ поведения такой системы. Рассмотрим обычный математический маятник с нитью фиксированной длины и найдем среднюю за период силу натяжения нити.

Рис.1.

 

Математический маятник

Поскольку груз вдоль нити не движется, то в неинерциальной системе отсчета, связанной с грузом сумма сил в проекции на нить равна нулю

N = mg cosa + Fљ‡ = mg cosa + mw²l(1.1)

Здесь в правую часть включена центробежная сила инерции, равная произведению массы тела на центростремительное ускорение. При малом угле a колебания можно практически считать гармоническими

 a = a₀ sin w₀tg (1.2)

Здесь  – квадрат собственной частоты колебаний маятника. Выражение для угловой скорости w получим, дифференцируя (1.2)

w = a& = a₀w₀ cosw₀t (1.3)

Усреднив (1.4) по периоду колебаний получаем выражение для средней за период силы натяжения нити

Видно, что средняя за период сила натяжения нити маятника больше силы тяжести. Поэтому, вернувшись к рассматриваемой системе двух грузов, делаем вывод, что смещение нити будет происходить в сторону правого груза, а значит при колебаниях правый груз будет в среднем опускаться вниз, вытягивая нить. Получается, что при колебаниях правый груз оказывается немного «тяжелее» левого, что и обуславливает такую эволюцию системы.

Для проведения детального анализа поведения грузов необходимо записать уравнения движения. Воспользуемся для этого лагранжевым подходом.

Кинетическая T и потенциальная U энергии системы даются выражениями

Здесь l и j – длина и угол отклонения от положения равновесия для правой нити. Подставляя функцию Лагранжа L = T -U в уравнения Эйлера



Качественный анализ поведения системы

Прежде всего ясно, что левый груз не может находиться в состоянии покоя. Во время колебаний правого груза-маятника нить испытывает поочередно силу, то большую, то меньшую mg. Поэтому движение левого груза должно быть хоть в какой-то степени колебательным.

Колебания в системе возбудим следующим образом: правый груз отклоним от положения равновесия и отпустим  без  начальной  скорости.  Левый  груз  при  этом  тоже  покоится.  Понятно,  что  при  этом  центростремительное ускорение правого груза будет равно нулю и сила натяжения нити mg cosj , , равная будет меньше mg . Левый груз при этом из состояния покоя начнет движение вниз.

Проанализируем дальнейшее движение по уравнению для угла j (1.8). По внешнему виду оно похоже на уравнение затухающих колебаний с коэффициентом затухания и собственной частотой    , которая в среднем уменьшается с увеличением l . Поэтому следует ожидать, что зависимость угла j от времени будет напоминать график затухающих колебаний с плавно уменьшающейся угловой амплитудой и возрастающим периодом.

Проанализируем теперь второе уравнение. Поскольку при колебаниях угловая амплитуда колебаний j ® 0 , то cosj в уравнении (1.7) стремится к единице. С увеличением периода колебаний (возрастание l ) и убыванием амплитуды j j& ® 0 . Как следствие, в уравнении (1.7) &l& ® 0 , что соответствует движению левогомаятника в среднем вверх с установившейся скоростью.

Итак,  качественное                        описание       поведения       системы       таково:       при       начальных      условиях

j = j0; l = l0; j& = 0; l& = 0 вначале правый груз начинает движение вверх. Затем, по прошествии некоторого

времени нить правого маятника начинает вытягиваться вниз, при этом угловая амплитуда его колебаний уменьшается. Левый же груз при по прошествии достаточно большого времени стремится подниматься вверх с

постоянной скоростью. Ожидается, что угловые колебания правого груза j(t ) будут порождать на зависимости

l(t ) колебания того же временного масштаба.

Результаты компьютерного моделирования

На графике представлены результаты численного решения системы уравнений (1.7-1.8) с помощью системы MatLab. Наблюдается отличное качественное согласие с предварительно проведенным анализом.

Случай разных масс
Видоизменим первоначальное решение задачи, вводя для левого и правого груза разные массы 1 m
и 2 m
соответственно. Повторяя вычисления, аналогичные (1.6-1.8), получим уравнения движения в следующем виде

Видно, что уравнение движения для угла j не изменилось, поэтому кажется,  что и решение j(t )будет аналогично предыдущему. Но развитию такого сценария мешает соображение, согласно которому, если левый груз будет значительно тяжелее правого, то вся система с практически постоянным ускорением будет двигаться влево, и правая нить наоборот будет укорачиваться.

Численное решение системы (1.9) при соотношении масс  лишь немного большем единицы (~1,02), дает очень интересный результат. Угловые колебания правого груза напоминают биения. В то же время левый груз колеблется возле некоторого положения равновесия, но его колебания l(t ), во-первых, мало похожи на гармонические, а во-вторых, они не соразмерны периоду угловых колебаний значительно меньше).

Такое поведения грузов довольно сложно было предсказать на основе только качественного анализа.

Рис.4.

 

Реальный эксперимент

Критерием истинности любой физической теории, безусловно, является эксперимент. В этой связи, возникает идея пронаблюдать такое «парадоксальное» поведение системы в реальном эксперименте. Для этого была изготовлена установка, в которой два тяжелых груза, связаны нитью, перекинутой через блоки. В качестве блоков были использованы подшипники от старых жестких дисков, поскольку они обеспечивают малое трение. Процесс колебаний был зафиксирован видеокамерой, и в результате обработки видеоряда был получен экспериментальный график колебаний системы при тех же начальных условиях, что и ранее. Налицо не только качественное, но и количественное согласие с результатами численных расчетов.

Итоги

По мнению авторов при обучении студентов-физиков компьютерному моделированию необходимо подбирать такие задачи, которые позволяют:

Применять достаточно мощный математический аппарат для предварительного анализа ситуации;

Дают возможность демонстрации ограниченности (или даже невозможности) чисто теоретического решения задачи, без применения численных методов;

Позволяют осуществить верификацию полученных численных результатов на реальной физической установке.

 

Список литературы

1.      Heermann Dieter W. Computer Simulation Methods in Theoretical Physics, 3rd ed. Springer-Verlag, 2005.

2.      Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В 2 ч. – М.: Мир, 1990.

3.      Anderson John D., Jr. Computational fluid dynamics. The Basics with Applications. McGraw-Hill, Inc. 1995.

4.      Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в конвекции. – Минск: Университетское, 2002.– 167 с.

5.      Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. –392 с.

6.      Тульчинский М. Е. Качественные задачи по физике в средней школе. Пособие для учителей. Изд. 4-е. М.,

«Просвещение», 1972.