РАЗРАБОТКА МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ ГРАНИЦ ОБЛАСТЕЙ МАКСИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ

Основное содержание проводимых разработчиками радиотехнических устройств (РТУ), службами надёжности и заказчика работ по проверке правильности применения, анализу причин и поиску предпосылок отказов электрорадиоизделий (ЭРИ) в РТУ заключается в отыскании наиболее «тяжелых» (экстремальных) электрических режимов работы ЭРИ с учетом всех неблагоприятных факторов, способствующих возникновению таких режимов.

Расчёт экстремальных рабочих режимов (РР) полупроводниковых приборов (ПП) является сложной задачей анализа. Ее решение на ЭВМ требует учета понятия критерия экстремального режима и способа его количественной оценки (целевой функции) [1 - 4].

Пусть состояние ПП в схеме микроэлектронной аппаратуры (МЭА) характеризуется вектором электрических параметров режима 𝑦Р1, 𝑦Р2, … , 𝑦Р𝑗 , … , 𝑦Р𝑛, являющихся координатами рабочей точки ПП в n-мерном пространстве параметров режима ПYР. Пространство П𝑌Р является также скалярным полем априорно заданных, в общем случае нелинейных ограничений i (yР1, yР2, … , yРj , … , yРn), i = 1. . m; m ≤ n, устанавливающие технические требования к электрическим параметрам режима (ЭПР) и определяющих границуi (yР1, yР2, … , yРj, … , yРn) = 0 (1)

Допустимой области максимальных режимов ПП 𝑌РД = {𝑌Р |i (YР) ≤ 0}.

Выражение (1) для границ области максимального режима (ОМР) обобщает заданные в нормативно-технической документации (НТД) на ПП в виде функциональных зависимостей и графиков области максимальных режимов, типовые структуры расчета предельно допустимых значений (ПДЗ) ЭПР и др. требования к ПДЗ ЭПР.

Расчет вектора 𝑌Р с помощью программ машинного анализа (ПМА) электронных схем подразумевает замену физической модели схемы (макета) математической моделью (ММ) схемы, как объединение ММ ПП и др. ЭРИ. Пусть ММ схемы в ПМА представлена системой дифференциальных уравнений вида

𝑉 ̇= 𝜑(𝑉, 𝑊, 𝑡), (2)

где V – вектор переменных состояния (независимых друг от друга емкостных напряжений и индуктивных токов);

t – время;

W – вектор входных параметров, объединяющий множества внутренних Х и внешних Q параметров схемы.

Отметим, что в данном случае внутренними параметрами являются параметры ЭРИ, не относящиеся в ЭПР ПП, а внешние параметры – параметры стимулирующих сигналов, температура и др.

Внутренние и внешние параметры имеют определенный разброс, который должен быть уточнен при отыскании экстремальных РР ПП.

Решение системы уравнений (2) на ЭВМ позволяет определить для заданных значений входных параметров 𝑊ЗАД временные зависимости переменных состояния

𝑊 = Ф1(𝑡)|𝑊=𝑊ЗАД (3)

По найденным зависимостям (3) могут быть определены как временные зависимости ЭПР ПП 

𝑌𝑃 = Ф2(𝑉) = Ф2(Ф1(𝑡)|𝑊=𝑊ЗАД ), (4)

так и временные зависимости выходных параметров схемы 𝑌СХ = Ф3(𝑉) = Ф3(Ф1(𝑡)|𝑊=𝑊ЗАД ).

Назовем задачу расчета вектора 𝑌Р задачей p-анализа электрических схем. Многовариантный p- анализ включает в себя одновариантный анализ и межвариантные модификации W. В результате многовариантного p-анализа получаются множества значений векторов 𝑌Р и 𝑌СХ , образующиесоответствующие рабочие области 𝑌РР и 𝑌СХР.

Сказанное иллюстрируется на рис. 1.

В пространствах ПW, ПV, ПYР, ПYСХ построены соответствующие рабочие области изменения параметров и переменных WР, VР, YРР и YСХР, связанные операторами переходов Ф1, Ф2, Ф3. Технические требования к ПДЗ ЭПР в виде границы  (YР )|W=WЗАД = 0 выделяют область допустимых значений ЭПР ПП. Очевидно, что условием обеспечения надежности ПП является условие YРР является подмножеством множества YРД.

Определение области 𝑌РР в результате многовариантного p-анализа и задание допустимой области 𝑌РД позволяет сравнивать РР ПП в разных рабочих точках 𝑌Р ∈ 𝑌РР и отмечать экстремальные рабочие точки, в которых РР ПП наиболее «тяжёлый». Заметим, что в случае анализа переходных процессов 𝑌РР представляет собой траекторию движения рабочей точки ПП в пространстве ПYР.

Таким образом, процедуры расчёта и контроля ЭПР ПП могут быть сформулированы как задачи построения и количественной оценки взаимного расположения геометрических объектов 𝑌РР и 𝑌РД в пространстве П𝑌Р и отыскания рабочей точки (или рабочих точек), находящейся внутри области 𝑌РД на минимальном расстоянии от её границ. Иными словами, экстремальной является рабочая точка, расположенная относительно 𝑌РД с минимальными запасами 

𝑍j = 𝑇𝑇j − ypj, (5)

где 𝑍j – запас работоспособности ПП по j-му ЭПР;

𝑇𝑇j – техническое требование (ПДЗ ЭПР) на параметр режима ypj.

Принимая оценку (5) в качестве критерия экстремальности РР ПП, полагаем, что способ определения 𝑇𝑇j по заданной границе (1) известен из НТД на ПП.

Для формирования обобщенного критерия введем нормированный запас по j-му ЭПР

Тогда минимальный нормированный запас по j-му ЭПР, являющийся локальным экстремумом  целевой функции (6), определяется в виде

где [t1, t2]– отрезок времени переходного процесса.
При выходе рабочей точки за пределы области 𝑌РД смысл минимального запаса (7) сохраняется, т.к. величина запаса меняет знак (становится отрицательной).
Окончательное решение задачи расчета электрических РР ПП сводится при этом к отысканию экстремума

и соответствующих ему координат рабочей точки ПП.
В  случае  использования  в  качестве  критерия  оценки  экстремального  режима  величины коэффициента нагрузки ПП  задача формулируется в виде 

Таким образом, задача расчёта электрических режимов работы ПП в схемах МЭА относится к классу экстремальных задач схемотехнического проектирования РТУ и может быть решена в ходе моделирования электронных схем на ЭВМ.

При критерии минимального запаса (7) вычисление вектора электрических параметров режима означает и вычисление значения целевой функции в очередной отображающей точке на траектории поиска экстремального режима, если для каждого 𝑌Р𝑗 определено значение входящего в критерий ограничения на предельно допустимые значения (ПДЗ) этого параметра ТТ𝑗. Некоторые из ТТ𝑗 заданы в НТД на ПП своими числовыми значениями, например ТТ𝑗 = 𝑈ЭБ МАКС = 4В, которые постоянны при всех вариациях параметров, во всем диапазоне рабочих температур, т.е. в любой отображающей точке W пространства входных параметров. В этом простом случае ТТ𝑗 можно рассматривать как постоянный коэффициент в выражении для целевой функции.

Сложнее вычислить запас (КН) по параметрам режима, ПДЗ которых заданы в виде функциональных зависимостей. В работе [1] предложено определять локальный экстремум режимного параметра 𝑦𝑝𝑗 ∗ при переходном процессе в виде

где [𝑇1, 𝑇2 ] – отрезок времени переходного процесса.

t – время.

При таком подходе режим работы ПП может быть оценен неправильно. В самом деле, если принять, например, в качестве предельно допустимого коллекторного тока транзистора ТТ𝐼К = 𝐼К МАКС ДОП = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 для постоянного тока и ТТ𝐼К = 𝐼К,И МАКС ДОП = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 для импульсного тока на том основании, что значения 𝐼К МАКС и 𝐼К,И МАКС нормируются для всего диапазона рабочих температур, то расчетная величина коэффициента нагрузки по току может оказаться меньше фактической величины, а запас больше. Сказанное иллюстрируется на рис. 2 и 3. Если осциллограмма коллекторного тока имеет вид, изображенный на рис. 2, а ОМР транзистора и траектория движения его рабочей точки имеют вид, изображенный на рис. 3, то коэффициент нагрузки транзистора по току в момент времени t2 будет больше, чем в момент времени t1, хотя максимум тока приходится на момент времени t1.

Очевидно, что использование для оценки экстремальных режимов критерия минимального запаса (7), в котором ПДЗ ЭПР (ТТ) определяются установленными для ОМР ПП границами (1), дает более точную оценку электрических нагрузок ПП. Экстремальное значение параметра режима 𝑌𝑗 определяется при этом выражением

где 𝑧’𝑗 и 𝑧𝑗МИН – относительные запасы, определяемые по формулам (6) и (7) соответственно.

При отыскании экстремума (11) необходимо учесть следующую особенность. Как следует из рассмотрения рис. 2 и 3, оценка положения рабочей точки относительно границ ОМР в динамике требует  определения значений ТТ𝑗 для каждого момента времени переходного процесса, т.е. на каждом шаге интегрирования системы дифференциальных уравнений ММ схемы при решении задачи анализа переходных процессов с помощью ЭВМ. В связи с этим необходимо решить вопрос о способе организации вычислений ТТ𝑗 и определения значений y𝑝𝑗 ∗ с учетом возможностей ПМА и САПР. Построение графиков траектории движения рабочей точки, называемых также «динамическими характеристиками», довольно трудоёмкая операция. Для ее автоматизации требуется разработка специальных программ обработки результатов анализа переходных процессов, сведения о которых в литературе практически отсутствуют.
Построение таких графиков вручную и определение по ним экстремальных точек не обеспечивает необходимую точность.
Рассмотрим специальный метод оценки экстремальных электрических РР ПП при переходных процессах, свободный от указанных недостатков и названный «методом динамической проекции границ»
(ДПГ). Суть метода заключается в том, что в отличие от метода построения «динамической характеристики», предполагающего построение (проекцию) траектории движения рабочей точки на плоскость {𝑌Р𝑗 , 𝑌Р𝑖}, в которой заданы границы ОМР (например, плоскость статических ВАХ транзистора на рис. 3), в методе ДПГ осуществляется обратная операция проекции границ ОМР на плоскости {𝑦Р1,t}, {𝑦Р2,t}, …, {𝑦Р𝑛,t}.
Это означает, что на поле каждого графика переходного процесса yРj(t), характеризующего изменение ЭПР ПП во времени, выводится график ТТ𝑗 = 𝜉𝑗 (𝑡), отражающий изменение соответствующих этому параметру его ПДЗ. Одновременно с расчетом временных зависимостей yРj(t) и 𝜉𝑗 (𝑡) вычисляются определяющие целевую функцию запасы 𝑧𝑗′(𝑡) = (𝜉𝑗 (𝑡) − yРj (t))/(𝜉𝑗 (𝑡) (12)
Блок-схема укрупненного алгоритма анализа ЭПР ПП мо методу ДПГ приведена на рис. 4. После описания на входном языке ПМА электронной схемы применения ПП и задания вектора входных
параметров в исходной точке WИСХ (параметров источников сигналов, напряжения питания, температуры, значений параметров ММ комплектующих схему ЭРИ) переходят к определению функциональных зависимостей ЭПР ПП от переменных состояния 𝑌𝑝 (𝑡) = Ф2(𝑉) и зависимостей 𝑇𝑇 = Ф4(𝑌𝑝), связывающих ЭПР ПП и ПДЗ ЭПР. Например, если в ПМА приняты в качестве переменных состояния потенциалы узлов схемы относительно базового узла (условного корпуса) и токи резистивных ветвей, то для биполярного транзистора в систему уравнений 𝑌𝑝 = Ф2(𝑉) войдут уравнения:
UКЭ = UК − UЭ;
IК = I𝑅К;
PК = I𝑅К ∗ (UК − UЭ);
где UК – потенциал коллекторного вывода транзистора;
UЭ – потенциал эмиттерного вывода;
I𝑅К – ток через резистор в цепи коллекторного вывода;
PК – мгновенная мощность.
В систему уравнений 𝑇𝑇 = Ф4(𝑌𝑝) при наличии графика рис. 5, который для 15В ≤ UКЭ ≤ 45В и заданной температуры Т=100ºC описывается линейной функцией PК МАКС = 𝑎 − 𝑏 ∗ UКЭ, войдут, как нетрудно показать, уравнения
UКЭ МАКС = (𝑎 − 𝑏 ∗ UКЭ)/IК,
IК МАКС = (𝑎 − 𝑏 ∗ UКЭ )/UКЭ,
PК МАКС = (𝑎 − 𝑏 ∗ UКЭ),
где a =13, 75 Вт, b =0, 25 А.
Отметим, что в этом примере рассматривается функция ограничений 𝑖 (yР1, yР2) = yР1 ∗ yР2 + 0,25 ∗ yР1 − 13,75, устанавливающая согласно (1) границу yР1 ∗ yР2 + 0,25 ∗ yР1 − 13,75 = 0,
где yР1 = UКЭ, yР2 = IК.
Далее систему уравнений 𝑌𝑝 = Ф2(𝑉), 𝑇𝑇 = Ф4(𝑌𝑝), а также выражения для запасов 𝑧′ = Ф5(𝑌𝑝, 𝑇𝑇) по (6) формулируют тем или иным способом на входном языке ПМА и вводят в ЭВМ вместе с исходными
данными о моделируемой схеме применения ПП, после чего программными средствами ПМА осуществляется автоматическое формирование сопряжённой системы уравнений ММ схемы (блок 5) с
использованием данных о ММ ПП и других ЭРИ, хранящихся в ПМА в библиотеке ММ.
Решение сопряженной системы уравнений (блок 6) позволяет определить временные зависимости переменных состояния V(t), параметров режима yРj(t), предельно допустимых значений параметров режима ТТ𝑗 (𝑡), а также оценивающих целевую функцию относительных запасов 𝑧𝑗 ′(𝑡). Экстремальные значения электрических параметров режима ПП 𝑦𝑝𝑗 ∗ могут быть легко определены из рассмотрения полученных таким образом данных по минимальным значениям запасов
Zj МИН′ = min (Zj′ )
∀t ∈ [Т1, Т2]
. (13)
Порядок определения минимального запаса по верхней границе ПДЗ ЭПР и соответствующий машинный алгоритм показан на рис. 6, где 𝐹(𝑊)∗∗ обозначен экстремум целевой функции, определяемый с учетом разбросов параметров ЭРИ и сигналов любым из известных методов анализа допусков.
Нетрудно заметить, что в основе предложенного метода оценки экстремальных электрических режимов ПП лежит формирование сопряжённой системы уравнений ММ схемы применения ПП, которое происходит путём дополнения ММ схемы системой уравнений 




Формулировка системы уравнений (14) на входном языке ПМА, используемым для описания ММ ПП и других компонентов электронных схем, позволяет использовать без какой-либо доработки существующие ПМА для решения задачи оценки экстремальных электрических режимов ПП с помощью ЭВМ. Поскольку при этом каждому ПП, режимы работы которого оцениваются, будет соответствовать своя система уравнений вида (14), целесообразно разработать учитывающие эти уравнения специальные модели ПП для оценки электрических режимов их работы методом ДПГ. Это позволит упростить хранение в памяти ЭВМ и использование при расчете данных о ПДЗ ЭПР ПП благодаря наличию таких данных в самих моделях ПП.

Список литературы

1.Автоматизированная система АСОНИКА для моделирования физических процессов в радиоэлектронных средствах с учетом внешних воздействий / А.С. Шалумов, Ю.Н. Кофанов, С.У. Увайсов, М.А. Шалумов и др. / Под ред. А.С. Шалумова. М.: Радиотехника, 2013. 424 с.

2. Китаев Ю.В. Основы цифровой техники. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. 87 с.

3.   Лаврентьев Б.Ф. Схемотехника электронных средств. Учебное пособие. М.: Издательский центр «Академия», 2010. 308 с.

4. Тумковский С.Р. Идентификация параметров математических моделей элементов РТУ / Дис. докт.техн.наук. М., 2006. 251 с.